她翻了个白眼。“不可能!这个体系是从和加法一样明白无误的公理得出的结果,无法绕过。我可以担保。”
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1936年,格哈德·根茨恩提出了一种对算术一致性的证明,可是要做出证明,他需要采用一种有争议的方法,即人们所知道的超限归纳法。这种方法不属于正常的证明方法,因此似乎难以恰当地保证算术的一致性。根茨恩所做的是使用可疑的方法来证明显而易见的东西。
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卡拉汉从贝克利大学打电话来说他也不能雪中送炭,但表示愿意继续研究她的论文,似乎她触及到了某种本质的、而又令人不安的东西。他想知道她是否打算发表她的形式体系,因为这个形式体系虽然的确包含他们两人都无法发现的错误,但数学界肯定会有人能够发现的。
确。”
“你肯定——”他戛然而止,却太晚了。她瞪着他。她当然清楚他想说的是什么。不知她的目光是什么意思。
“你懂吗?”雷内道,“我已经推翻了大半个数学:这门学问全都没意义了。”
她焦躁起来,几乎快发疯了。卡尔小心翼翼地选择着字眼,“你怎么能这么说?数学仍然有作用。科学和经济并不会因为你这个领悟而突然崩溃的。”
“这是因为他们使用的数学纯粹是骗人的把戏。是一种口诀式的小玩意儿,跟用指关节来计算哪些月份有三十一天一样。”
雷内几乎没有听见他说话,只是嘀咕今后她会打电话联系他的,近来,她与人讲话很困难,
“不一样。”
“为什么不一样?现在,数学与现实绝对毫无关系。且不说像虚数或者无穷小数之类的概念,现在,就连该死的整数加法都跟用指头计算毫无关系。你用指头计算,一加一始终等于二,但在纸上我可以给你无穷多的答案,这些答案全都同样有效,这意味着它们全都同样无效。我可以写出你见过的最优美的定理,但它却不过是一个瞎扯淡等式。”她苦笑起来,“实证主义者曾经说一切数学都是同义反复。他们错了:数学是自相矛盾。”
卡尔试了试另一种方式。“等一下。刚才你提到虚数这类想像出来的概念,大家不也一样接受了吗?现在不也可以这样吗?数学家们曾经相信虚数没有意义,可是现在它们成了数学的基础概念。情况完全是一样的呀。”
“不一样。当时的解决方法只是扩展语境,用在这里不起作用。虚数给数学增添新的内容,而我的形式系统却是给已经存在在那里的东西下定义。”
“但是,如果你改变语境,从不同的角度探索——”